Question

9．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{a}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0），的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{3}$，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F在漸近線上的射影為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=4．

Answer 1

分析 運(yùn)用離心率公式解方程可得a=9，求得雙曲線方程及漸近線方程，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|•cos∠OFM，運(yùn)用F到漸近線的距離，即可得到所求值．

解答 解：由題意可得e=$\frac{\sqrt{a+4}}{\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
可得a=9，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
焦點(diǎn)F（$\sqrt{13}$，0），
則$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|•cos∠OFM
=|$\overrightarrow{MF}$|²，
由F到漸近線y=-$\frac{2}{3}$x的距離為|MF|=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{4+9}}$=2，
則$\overrightarrow{OF}$$•\overrightarrow{MF}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的定義和計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．