Question

一個三棱錐S-ABC的三視圖、直觀圖如圖．
（1）求三棱錐S-ABC的體積；
（2）求點C到平面SAB的距離；
（3）求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三視圖，我們可以判斷出已知三棱錐B在平面SAC上的正投影為AC的中點D，點S在平面ABC上的正投影為DC的中點O，進而我們求出底面ABC的面積和高SO的長，代入棱錐體積公式即可得到答案．
（2）解法一：以O為原點，OA為x軸，過O且平行于BD的直線為y軸，OS為z軸，建立如圖空間直角坐標系，求出面SAB的一個法向量

m

，代入公式d=|

CA • m

m

|，即可求出點C到平面SAB的距離；
解法二：設點C到平面SAB的距離為d，由三棱錐S-ABC的體積4=VS-ABC=VC-SAB=

1

3

×S△SAB×d，即可得到點C到平面SAB的距離；
（3）解法一：求出平面ABC一個法向量

n

，結合（2）中面SAB的一個法向量

m

，代入向量夾角公式，即可得到二面角S-AB-C的余弦值．
解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，則OE⊥AB，連接SE，因OE是SE在底面ABC內的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO為二面角S-AB-C的平面角．解Rt△SEO即可得到到二面角S-AB-C的余弦值．

解答：解：（1）由正視圖、俯視圖知AC=4；
由正視圖、側視圖知，點B在平面SAC上的正投影為AC的中點D，則BD=3，BD⊥平面SAC，BD⊥AC；
由俯視圖、側視圖知，點S在平面ABC上的正投影為DC的中點O，
則SO=2，SO⊥平面ABC，SO⊥AC．如圖．
三棱錐S-ABC的體積VS-ABC=

1

3

×(

1

2

×4×3)×2=4．
（2）解法一：
以O為原點，OA為x軸，過O且平行于BD的直線為y軸，OS為z軸，建立如圖空間直角坐標系，可求S（0，0，2）A（3，0，0）B（1，3，0），

SA

=(3，0，-2)，

SB

=(1，3，-2)，
設

m

=(x，y，z)是平面SAB的一個法向量，則

m • SA =3x-2y=0 m • SB =x+3y-2z=0

，取

m

=(3，2，

9

2

)，
可知C(-1，0，0)，

CA

=(4，0，0)，設點C到平面SAB的距離為d，
則d=|

CA • m

m

|=

24 133

133

．
（2）解法二：可求AB=

AD2+BD2

=

13

，SA=

AO2+SO2

=

13

，SB=

SO2+OB2

=

SO2+BD2+DO2

=

14

，
△SAB的面積S△SAB=

1

2

×

14

×

( 13 )2-( 14 2 )2

=

133

2

，
設點C到平面SAB的距離為d，
由三棱錐S-ABC的體積4=VS-ABC=VC-SAB=

1

3

×S△SAB×d，
得d=

12

S△SAB

=

12

133 2

=

24 133

133

．
（3）解法一：可知

n

=(0，0，1)是平面ABC一個法向量，故|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |×| n |

|=

9 133

133

，
二面角S-AB-C的余弦值為

9 133

133

．
（3）解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，則OE⊥AB，
連接SE，因OE是SE在底面ABC內的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO為二面角S-AB-C的平面角．
△ABC中，易求BA=BC=

13

，
由△ABC的面積，

1

2

×AC×BD=

1

2

×AB×CH，CH=

AC×BD

AB

=

12 13

13

，
△AEO與△AHC相似，相似比為AO：AC=3：4，故OE=

3

4

CH=

9 13

13

，Rt△SEO中，tan∠SEO=

SO

OE

=

2 13

9

，
故cos∠SEO=

9

92+(2 13 )2

=

9 133

133

，二面角S-AB-C的余弦值為

9 133

133

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，點到平面的距離公式，其中（1）的關鍵是根據已知的三視圖判斷出幾何體的形狀及底面棱長，高等關鍵的幾何量，（2）（3）的解法一（向量法）關鍵是要建立適當的空間坐標系，熟練掌握向量法求距離和夾角的公式．