Question

如圖，已知拋物線C：x²=2py（p＞0）與圓O：x²+y²=8相交于A、B兩點，且（O為坐標(biāo)原點），直線l與圓O相切，切點在劣弧AB（含A、B兩點）上，且與拋物線C相交于M、N兩點，d是M、N兩點到拋物線C的焦點的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點A的坐標(biāo)為（x₁，y₁）（x₁＜0），
由于拋物線C和圓O關(guān)于y軸對稱，故點B的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）．
∵，
∴x₁•（-x₁）+y₁²=0，
即-x₁²+y₁²=0．
∵點A在拋物線C上，
∴x₁²=2py₁．
∴-2py₁+y₁²=0，即y₁（-2p+y₁）=0．
∵y₁≠0，
∴y₁=2p．
∴x₁=-2p．
∴點A的坐標(biāo)為（-2p，2p）．
∵點A在圓O上，
∴（-2p）²+（2p）²=8，又p＞0，解得p=1．
（Ⅱ） 解法1：設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，因為l是圓O的切線，則有，
又b＞0，則．
即l的方程為：．
聯(lián)立
即．
設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則．
如圖，設(shè)拋物線C的焦點為F，準(zhǔn)線為L，作MM₁⊥L，NN₁⊥L，垂足分別為M₁，N₁．
由拋物線的定義有：d=|MF|+|NF|=|MM₁|+|NN₁|=y_M+y_N+1=．
令，則2k²=t²-2．
∴d=t²+4t-1=（t+2）²-5．
又∵-1≤k≤1，
∴．
∴當(dāng)t=2時，d有最大值11．
當(dāng)t=2時，k=±1，故直線l的方程為y=±x+4．
解法2：設(shè)直線l與圓O相切的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則切線l的方程為x₀x+y₀y=8．
由消去x，得y₀²y²-（16y₀+2x₀²）y+64=0．
設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則．
如圖，設(shè)拋物線C的焦點為F，準(zhǔn)線為L，作MM₁⊥L，NN₁⊥L，垂足分別為M₁，N₁．
由拋物線的定義有：d=|MF|+|NF|=|MM₁|+|NN₁|=y_M+y_N+1=．
∵x₀²=8-y₀²，==．
∵，
∴當(dāng)y₀=2時，d有最大值11．
當(dāng)y₀=2時，x₀=±2，故直線l的方程為y=±x+4．
分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁＜0），由拋物線C和圓O關(guān)于y軸對稱，知點B的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）．由，知-x₁²+y₁²=0．由點A在拋物線C上，知x₁²=2py₁．由此能求出p．
（Ⅱ） 解法1：設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，由l是圓O的切線，知，得到l的方程為：．聯(lián)立，能求出直線l的方程．
解法2：設(shè)直線l與圓O相切的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則切線l的方程為x₀x+y₀y=8．由，得y₀²y²-（16y₀+2x₀²）y+64=0．設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則．由此能求出直線l的方程．
點評：本題主要考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．