Question

建造一個(gè)容積為8m³，深為2m的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為120元/m²和80元/m²
（1）求總造價(jià)關(guān)于底面一邊長(zhǎng)的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；
（2）求總造價(jià)的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)底邊一邊長(zhǎng)為xm，總造價(jià)為y元，由題意，知底面面積為4m²，則底面另一邊長(zhǎng)為

4

x

m，從而即可求得總造價(jià)關(guān)于底面一邊長(zhǎng)的函數(shù)解析式．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的最小值，分類(lèi)討論：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，利用單調(diào)性的定義證明它是單調(diào)遞減的函數(shù)，再證明當(dāng)x＞2時(shí)，是單調(diào)遞增的函數(shù)，從而得出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）設(shè)底邊一邊長(zhǎng)為xm，總造價(jià)為y元，則
由題意，知底面面積為4m²，則底面另一邊長(zhǎng)為

4

x

m，
∴y=120×4+80×(4x+4×

4

x

)=480+320(x+

4

x

)，x∈（0，+∞）
（2）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)是單調(diào)遞減的函數(shù)，證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，則f(x1)-f(x2)=320(x1+

4

x1

)-320(x2+

4

x2

)=320[(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)]
=320[(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

]=320×

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
故當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)是單調(diào)遞減的函數(shù)
同理可證明當(dāng)x＞2時(shí)，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)是單調(diào)遞增的函數(shù)
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=f(x)=480+320(x+

4

x

)在（0，+∞）上取到最小值，
最小值為f(2)=480+320(2+

4

2

)=1760元
答：（1）總造價(jià)y元關(guān)于底面一邊長(zhǎng)xm的函數(shù)解析式為y=480+320(x+

4

x

)，此時(shí)此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）（2）總造價(jià)的最小值為1760元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．