Question

受金融危機(jī)的影響，某旅游公司的經(jīng)濟(jì)效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡．現(xiàn)需要對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，以提高旅游增加值．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，旅游增加值y（萬(wàn)元）與投入成本x（萬(wàn)元）之間滿(mǎn)足：y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，

x

2x-12

∈[t，+∞），其中t為大于

1

2

的常數(shù)，且當(dāng)投入成本為10萬(wàn)元時(shí)，旅游增加值為9.2萬(wàn)元．
（1）求a的值和投入成本x的取值范圍；
（2）當(dāng)投入成本為多少萬(wàn)元時(shí)，旅游增加值y取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于當(dāng)x=10萬(wàn)元時(shí)，y=9.2萬(wàn)元，求得a的值得f（x）的解析式．根據(jù)

x

2x-12

∈[t，+∞），其中t為大于

1

2

的常數(shù)，可得6＜x≤

12t

2t-1

，即為所求投入x的取值范圍．
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得可得f（x）在（1，50]上是增函數(shù)，在（50，+∞）上是減函數(shù)．再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①當(dāng)

12t

2t-1

≥50時(shí)，則x=50時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，②若

12t

2t-1

＜50，則當(dāng)x=

12t

2t-1

時(shí)，函數(shù)f（x）取得
最大值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)閥=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，
當(dāng)x=10時(shí)，y=9.2，解得a=

1

100

．
所以f（x）=

51

50

x-

1

100

x²-ln

x

10

．
因?yàn)?span id="3d2b2v3" class="MathJye">

x

2x-12

∈[t，+∞），所以6＜x≤

12t

2t-1

，
即投入x的取值范圍是（6，

12t

2t-1

]．
（2）由題意，令f′（x）=0，可得x=1，或x=50．…（8分）
當(dāng)x∈（1，50）時(shí)，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上連續(xù)，因此f（x）在（1，50]上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（50，+∞））時(shí)，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上連續(xù)，
因此f（x）在（50，+∞）上是減函數(shù)．
再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①可得當(dāng)

12t

2t-1

≥50時(shí)，則x=50時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，即投入50萬(wàn)元改造時(shí)旅游取得最大增加值．
②若

12t

2t-1

＜50，則當(dāng)x=

12t

2t-1

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．
即投入

12t

2t-1

萬(wàn)元改造時(shí)旅游取得最大增加值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查旅游增加值y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．