Question

如圖，設拋物線C:y=x²的焦點為F，動點P在直線l∶x-y-2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

Answer 1

（1）解：設切點A、B坐標分別為(x,x₀²)和(x₁,x₁²)(x₁≠x₀)，

∴切線AP的方程為2x₀x-y-x₀²=0;切線BP的方程為2x₁x-y-x₁²=0.

解得P點的坐標為x_p=,y_p=x₀x₁，

所以△APB的重心G的坐標為x_G=，

y_G=.

所以y_p=-3y_G+4x_G2，由點P在直線l上運動，

從而得到重心G的軌跡方程為x-(-3y+4x²)-2=0,即y=(4x²-x+2).

（2）證明：證法1：因為=(x₀,x₀²-),=(,x₀x₁-),

=(x₁,x₁²-).由于P點在拋物線外，則||≠0. ∴cosAFP=,?同理有cosBFP=

∴∠AFP=∠PFB.

證法2：①當x₁x₀=0時,由于x₁≠x₀，不妨設x₀=0，

則y₀=0,所以P點坐標為(,0)，則P點到直線AF的距離為d₁=;而直線BF的方程：y-=x,即(x₁²-)x-x₁y+x₁=0.所以P點到直線BF的距離為

d₂=.

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當x₁x₀≠0時，直線AF的方程：

y-=，即(x₀²-)x-x₀y+x₀=0.

直線BF的方程：y-=(x-0).即(x₁²-)x-x₁y+x₁=0.

所以P點到直線AF的距離為

d₁=，

同理可得到P點到直線BF的距離

d₂=，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.