已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點坐標為(±
2
 ， 0)，離心率為
6
3
．直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）由e=
6
3
=
c
a
，c=
2
，a2=b2+c2得，a=
3
，b=1，
所以橢圓方程是：
x2
3
+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1=kx1+2，y2=kx2+2，
將y=kx+2代入
x2
3
+y2=1，整理得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），
則x1+x2=-
12k
3k2+1
，x1x2=
9
3k2+1
，
以PQ為直徑的圓過D（-1，0），
則
PD
⊥
QD
，即
PD
•
QD
=0，
所以
PD
•
QD
=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2
=x1x2+（x1+x2）+y1y2+1=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=
-12k+14
3k2+1
=0．            
解得k=
7
6
，此時（*）方程△＞0，
所以存在k=
7
6
，使得以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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