Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²+3．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=2處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+m=0有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x=2分別代入原函數(shù)解析式和導(dǎo)函數(shù)解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，由點(diǎn)斜式可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+m=0有三個(gè)不同的實(shí)根，則-m值在函數(shù)兩個(gè)極值之間，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的兩個(gè)極值，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=7
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）
又∵f′（x）=6x²-6x．
∴f′（2）=12
即切線的斜率k=12
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-7=12（x-2）
即12x-y-17=0
（2）令f′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1
當(dāng)x＜0，或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值3，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值2，
若關(guān)于x的方程f（x）+m=0有三個(gè)不同的實(shí)根，則2＜-m＜3，即-3＜m＜-2
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-3，-2）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)斜率及極值是解答的關(guān)鍵．