Question

下列不等式恒成立的是（　　）
①e^x≥1+x
②sinx＜x，x∈[0，π）
③nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*
④ln(1+x)＞x-

x2

2

，x＞0．

A．②③

B．①④

C．②④

D．①③

Answer 1

分析：①首先構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行證明．對(duì)于②③可舉出反例說明它們不是恒成立的；對(duì)于④設(shè)f（x）=ln(1+x)-x+

x2

2

，x＞0，利用 民數(shù)研究其單調(diào)性，從而得出結(jié)論．

解答：解：①設(shè)f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，f（x）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴對(duì)x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．故①恒成立；
②當(dāng)x=0時(shí)，sinx=x，故不成立；
③當(dāng)n=3時(shí)，nⁿ⁺¹=3⁴=81，（n+1）ⁿ=4³=64，故nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*，不成立．
④設(shè)f（x）=ln(1+x)-x+

x2

2

，x＞0，則f'（x）=

1

1+x

-1+x=

x2

1+x

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，故ln(1+x)＞x-

x2

2

，x＞0．正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．