Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax2ex﹣1（a≠0）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知a＞0且x∈[1，+∞），若函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2,0）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣2,0），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），再分a＞0和a＜0進(jìn)行討論即可得解；

（2）根據(jù)（1）可知，當(dāng)a＞0時(shí)， f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，則保證f（1）＞0即可得解.

（1）f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），

令f'（x）＝0，則x＝0或x＝﹣2，

①若a＞0，

當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

②若a＜0，

當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，0）；

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣2，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，

若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則f（1）＝ae﹣1＞0，解得，

故a的取值范圍為.