Question

設(shè)函數(shù)f（x）表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差絕對值的最小值．
（1）當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，求出f(x)的解析式，當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z）時(shí)，寫出用絕對值符號表示的f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)（x∈R）；
（3）若e-

1

2

＜a＜1，求證方程f（x）-loga

x

=0有且只有一個(gè)實(shí)根，并求出這個(gè)實(shí)根．

Answer 1

分析：（1）由定義知當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，x與0距離最近，函數(shù)f（x）表示實(shí)數(shù)x與0之差絕對值即f（x）=|x|，，當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)時(shí)，k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，即f（x）=|x-k|
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任何x∈R存在k∈Z，滿足

k- 1 2 ≤x≤k+ 1 2 ，f(x)=|x-k|．

故只需證明-

k- 1 2 ≤-x≤-k+ 1 2

時(shí)，f（-x）=f（x）即可
（3）由于e-

1

2

＜a＜1，loga

x

的正負(fù)由x與1的大小決定，故分x＞1，x=1，

1

2

＜x＜1，0＜x≤

1

2

討論方程根的情況，注意在每種情況下由f（x）定義，將方程等價(jià)變形為關(guān)于x的方程，通過研究函數(shù)f（x）-loga

x

的性質(zhì)研究根的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，由定義知：x與0距離最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]．
當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)時(shí)，由定義知：k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，故f(x)=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)
（2）對任何x∈R，函數(shù)f（x）都存在，且存在k∈Z，滿足

k- 1 2 ≤x≤k+ 1 2 ，f(x)=|x-k|．由k- 1 2 ≤x ≤k+ 1 2 可以得出-k- 1 2 ≤-x≤-k+ 1 2 (k∈z)

即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

](-k∈Z）．
由（1）的結(jié)論，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），即f（x）是偶函數(shù)．
（3）f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

logax=0．
①當(dāng)x＞1時(shí)，|x-k|≥0＞

1

2

logax，∴|x-k|-

1

2

logax=0沒有大于1的實(shí)根；
②容易驗(yàn)證x=1為方程|x-k|-

1

2

logax=0的實(shí)根；
③當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，方程|x-k|-

1

2

logax=0變?yōu)?-x-

1

2

logax=0．
設(shè)H(x)=

1

2

logax-(1-x)(

1

2

＜x＜1)．

則H′(x)= 1 2xlna +1

＜ 1 2xlne- 1 2 +1 =- 1 x +1 ＜0，

所以當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，H(x)為減函數(shù)，H（x）＞H（1）=0．所以方程沒有

1

2

＜x＜1的實(shí)根；
④當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，方程|x-k|-

1

2

logax=0變?yōu)閤-

1

2

logax=0．
設(shè)G(x)=

1

2

logax-x(0＜x≤

1

2

)，G（x）為減函數(shù)，G(x)≥G(

1

2

)=H(

1

2

)＞H（1）=0，所以方程沒有0＜x≤

1

2

的實(shí)根． 綜上可知，當(dāng)e-

1

2

＜a＜1時(shí)，方程f（x）-loga

x

=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為1．

點(diǎn)評：本題綜合考察了函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)問題與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的工具性作用以及對新定義的理解和運(yùn)用