Question

17．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{lnx}{m}$，m∈R，且m≠0．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若m=-1，求證：函數(shù)F（x）=x-$\frac{f（x）}{x}$有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分m＜0和m＞0兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）把m=-1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)F′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，設(shè)h（x）=x²-1+lnx，利用導(dǎo)數(shù)可得h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合h（1）=0，可得F′（1）=0且F′（x）有唯一的零點(diǎn)1．從而得到0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．可得F（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合F（x）的最小值為F（1）=0可知函數(shù)F（x）=x-$\frac{f（x）}{x}$有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

解答 （1）解：f′（x）=1-$\frac{1}{mx}$=$\frac{mx-1}{mx}$，x＞0，
當(dāng)m＜0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{m}$，由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{m}$．
∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{m}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{m}$，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）證明：由已知，F(xiàn)（x）=x-$\frac{lnx}{x}-1$，則F′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=x²-1+lnx，則h′（x）=2x+$\frac{1}{x}$＞0（x＞0），
故h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又由于h（1）=0，因此F′（1）=0且F′（x）有唯一的零點(diǎn)1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．
∴F（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴F（x）的最小值為F（1）=0．
∴函數(shù)F（x）=x-$\frac{f（x）}{x}$有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的用法，考查邏輯思維能力與運(yùn)算能力，是壓軸題．