借助計(jì)算機(jī)(器)作某些分段函數(shù)圖象時(shí),分段函數(shù)的表示有時(shí)可以利用函數(shù)S(x)=
1,x≥0
0,x<0.
例如要表示分段函數(shù)g(x)=
x,x>2
0,x=2
-x,x<2.
可以將g(x)表示為g(x)=xS(x-2)+(-x)S(2-x).
設(shè)f(x)=(-x2+4x-3)S(x-1)+(x2-1)S(1-x).
(Ⅰ)請(qǐng)把函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;
(Ⅱ)設(shè)F(x)=f(x-k),且F(x)為奇函數(shù),寫出滿足條件的k值;(不需證明)
(Ⅲ)設(shè)h(x)=(x2-x+a-a2)S(x-a)+(x2+x-a-a2)S(a-x),求函數(shù)h(x)的最小值.
分析:(I)分當(dāng)x>1、當(dāng)x=1和當(dāng)x<1時(shí)3種情況加以討論,分別根據(jù)S(x)的對(duì)應(yīng)法則代入,可得f(x)相應(yīng)范圍內(nèi)的表達(dá)式,最后綜合可得函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;
(II)因?yàn)楹瘮?shù)F(x)的定義域?yàn)镽,所以F(x)為奇函數(shù),得F(0)=f(-k)=0,由此結(jié)合-k的范圍代入f(x)的表達(dá)式,再根據(jù)奇函數(shù)的定義加以驗(yàn)證,即可得到滿足條件的k值;
(III)由題意,可得h(x)=
x2-x+a-a2,x≥a 
x2+x-a-a2,x<a .
,再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),分a≥
1
2
、0≤a<
1
2
、-
1
2
<a<0和a≤-
1
2
的4種情況進(jìn)行討論,最后綜合可得當(dāng)a≤0時(shí),h(x)的最小值為-a2+a-
1
4
;當(dāng)a>0時(shí),h(x)的最小值為-a2-a-
1
4
解答:解:(Ⅰ)分情況討論:
①當(dāng)x>1時(shí),S(x-1)=1且S(1-x)=0,得f(x)=(-x2+4x-3)×1+(x2-1)×0=-x2+4x-3;
②當(dāng)x=1時(shí),S(x-1)=S(1-x)=1,得f(x)=(-x2+4x-3)×1+(x2-1)×1=4x-4;
③當(dāng)x<1時(shí),S(x-1)=0且S(1-x)=1,得f(x)=(-x2+4x-3)×0+(x2-1)×1=x2-1
f(x)=
-x2+4x-3,x>1
4x-4       x=1
x2-1,x<1
…(2分)
(Ⅱ)若F(x)為奇函數(shù),則F(0)=f(-k)=0,
①當(dāng)-k>1時(shí),解出k=-1或-3,但k=-3不符合題意;②當(dāng)-k=1時(shí),解出f(-k)=0,恒成立,得k=-1;
③當(dāng)-k<1時(shí),解出k=-1或1,但k=1不符合題意
綜上所述,得當(dāng)k=-1時(shí),F(xiàn)(x)為奇函數(shù).…(4分)
(Ⅲ)由已知,得h(x)=
x2-x+a-a2,x≥a 
x2+x-a-a2,x<a .

并且函數(shù)s=x2-x+a-a2與t=x2+x-a-a2在x=a處的值相同.…(5分)
①當(dāng)a≥
1
2
時(shí),h(x)在區(qū)間(-∞,-
1
2
)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-
1
2
,a)
上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.
所以,h(x)的最小值為f(-
1
2
)=(-
1
2
)2+(-
1
2
)-a-a2=-a2-a-
1
4
.…(6分)
當(dāng)-
1
2
<a<
1
2
時(shí),h(x)在區(qū)間(-∞,-
1
2
)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-
1
2
,a)
上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,
1
2
)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間(
1
2
,+∞)
上單調(diào)遞增.
所以h(x)最小值為f(-
1
2
)
f(
1
2
)
中較小的一個(gè),即-a2-a-
1
4
-a2+a-
1
4
中較小的一個(gè).
②當(dāng)-
1
2
<a<0
時(shí),h(x)的最小值為-a2+a-
1
4
.…(7分)
③當(dāng)0≤a<
1
2
時(shí),h(x)的最小值為-a2-a-
1
4
.…(8分)
④當(dāng)a≤-
1
2
時(shí),在區(qū)間(-∞,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,
1
2
)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間(
1
2
,+∞)
上單調(diào)遞增.
所以h(x)的最小值為f(
1
2
)=(
1
2
)2-(
1
2
)+a-a2=-a2+a-
1
4
.…(9分)
綜上所述,得:當(dāng)a≤0時(shí),h(x)的最小值為-a2+a-
1
4
,當(dāng)a>0時(shí),h(x)的最小值為-a2-a-
1
4
.…(10分)
點(diǎn)評(píng):本題以分段函數(shù)和含有字母參數(shù)的二次函數(shù)為載體,討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與最小值,著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶性與單調(diào)性的綜合等知識(shí),屬于難題.
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