Question

袋中裝有一些大小相同的球，其中有號(hào)數(shù)為1的球1個(gè)，號(hào)數(shù)為2的球2個(gè)，號(hào)數(shù)為3的球3個(gè)，…，號(hào)數(shù)為n的球n個(gè)．從袋中任取一球，其號(hào)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布和期望．

Answer 1

分析：由題意知從袋中任取一球，其號(hào)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ則變量的可能取值是1、2、3…n，當(dāng)ξ=1時(shí)，表示從袋中取球，取到一號(hào)球，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件共有（1+2+3+…+n），而滿足條件的事件數(shù)是1，求比值得到概率，以此類(lèi)推，寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：由題意知從袋中任取一球，其號(hào)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ則變量的可能取值是1、2、3…n，
當(dāng)ξ=1時(shí)，表示從袋中取球，取到一號(hào)球，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件共有（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

，
而滿足條件的事件數(shù)是1，
∴P（ξ=1）=

1

n(n+1) 2

=

2

n(n+1)

，
以此類(lèi)推，得到其他變量的概率，
∴ξ的概率分布為

∴Eξ=1×

2

n(1+n)

+2×

4

n(1+n)

+3×

6

n(n+1)

++n×

2n

n(n+1)

=

2

n(1+n)

（1²+2²+3²++n²）
=

2n+1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，用到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，本題這種類(lèi)型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問(wèn)題．