Question

5．已知過點A（0，-1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=4交于M，N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=9，其中O為坐標原點，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（2）由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx-1，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進行求解．

解答 解：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，
設過點A（0，-1）的直線方程：y=kx-1，即：kx-y-1=0．
由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=2．
故由$\frac{|2k-1-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，解得：k＞$\frac{3}{4}$；
（2）設M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx-1，代入圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=4，
可得（1+k²）x²-4（2k+1）x+16=0
∴x₁+x₂=$\frac{4+8k}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{16}{1+{k}^{2}}$•k²+k•$\frac{4+8k}{1+{k}^{2}}$+1=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=17-$\frac{k（4+8k）}{1+{k}^{2}}$=9，解得k=2，
故直線l的方程為y=2x-1，即2x-y-1=0．
圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．
所以|MN|=4．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，以及直線和圓相交的弦長公式的計算，考查學生的計算能力．