Question

（2009•普陀區(qū)二模）已知等軸雙曲線(xiàn)C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 過(guò)F作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)FP且垂足為P，|

OP

| =

2

．
（1）求等軸雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)F且方向向量為

d

=(1，2)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求

OA

•

OB

的值；
（3）假設(shè)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得

PM

•

PN

為常數(shù)．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，可求出漸近線(xiàn)方程，再根據(jù)P點(diǎn)為過(guò)F作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)FP的垂足，以及|

OP

| =

2

，可求出雙曲線(xiàn)中c的值，借助雙曲線(xiàn)中a，b，c的關(guān)系，得到雙曲線(xiàn)方程．
（2）根據(jù)直線(xiàn)l的方向向量以及f點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線(xiàn)l的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，解出x₁+x₂，x₁x₂的值，代入

OA

•

OB

中，即可求出

OA

•

OB

的值．
（3）先假設(shè)存在定點(diǎn)P，使得

PM

•

PN

為常數(shù)，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，解x₁+x₂，x₁x₂，用含k的式子表示，再代入

PM

•

PN

中，若

PM

•

PN

為常數(shù)，則結(jié)果與k無(wú)關(guān)，求此時(shí)m的值即可．

解答：解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（c，0），（c＞0），
∵雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，∴漸近線(xiàn)必為y=±x
由對(duì)稱(chēng)性可知，右焦點(diǎn)F到兩條漸近線(xiàn)距離相等，且∠POF=

π

4

．
∴△OPF為等腰直角三角形，則由|

OP

|=

2

⇒|

OF

|=c=2
又∵等軸雙曲線(xiàn)中，c²=2a²⇒a²=2
∴等軸雙曲線(xiàn)C的方程為x²-y²=2
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l的兩個(gè)交點(diǎn)
∵F（2，0），直線(xiàn)l的方向向量為

d

=（1，2），
∴直線(xiàn)l的方程為

x-2

1

=

y

2

，即y=2（x-2）
代入雙曲線(xiàn)C的方程，可得，x²-4（x-2）²=2⇒3x²-16x+18=0
∴x₁+x₂=

16

3

，x₁x₂=6，
而

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-2）（x₂-2）=5x₁x₂-8（x₁+x₂）+16=

10

3

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)P，使得

PM

•

PN

為常數(shù)，
其中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，
①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直是，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-2），
代入雙曲線(xiàn)C的方程，可得（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
由題意可知，k=±1，則有x₁+x₂=

4k2

k2-1

，x₁x₂=

4k2+2

k2-1

∴

PM

•

PN

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（4k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+m)

k2-1

+4k²+m²
=

2(1-2m)k2+2

k2-1

+m²=

4(1-m)

k2-1

+m²+2（1-2m）
要使

PM

•

PN

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m=1，此時(shí)，

PM

•

PN

=-1
②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，可得點(diǎn)M（2，

2

），N（2，-

2

）
若m=1，

PM

•

PN

=-1亦為常數(shù)
綜上可知，在x軸上是否存在定點(diǎn)P（1，0），使得

PM

•

PN

=-1為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等軸雙曲線(xiàn)的方程的求法，以及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用．