Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+ ，且f（x）+f（ ）=0，其中a，b為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5），求函數(shù)的解析式；
（2）已知0＜a＜1，求證：f（ ）＞0；
（3）當(dāng)f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b，

∵ ，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，

∵f（x）的圖象在x=1的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，5），∴k= ，

∴1﹣2a=5，得a=﹣2，

∴

（2）證明：

令 ，

則

∴x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，

∴x∈（0，1）時(shí)，

故0＜a＜1時(shí)，f（ ）＞0

（3）解： ，

①當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）遞增，∴f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；

②當(dāng) 時(shí)，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）遞減，∴f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；

③當(dāng) 時(shí)，令f′（x）=0，解得 ， ，

此時(shí)，f（x）在（0，x1）上遞減，在（x1，x2）上遞增，在（x2，+∞）上遞減，

∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0，

∵ ，∴ ，使得f（x0）=0，

又∵ ，

∴f（x）恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)：

綜上所述，a的取值范圍是

【解析】（1）利用賦值法，令x=1，得到f（1）=0，則切點(diǎn)為（1，0），從而可求出切線(xiàn)的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程組 ，即可求出a，b的值；（2）將x= 待入f（x）的解析式，構(gòu)造函數(shù) ，通過(guò)求導(dǎo)可知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，則g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（ ，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，易知a≤0，或a≥ 時(shí)，f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 通過(guò)零點(diǎn)存在定理可知，此時(shí)f（x）存在三個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，故a的取值范圍是 ．