Question

（本題滿分15分）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；

（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）據(jù)偶函數(shù)定義,得到,平方后可根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到的值,也可將上式兩邊平方得恒成立,得的值；（2）當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖像，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）先將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用零點(diǎn)分段法（三段：（））去掉絕對(duì)值,在每段上分別求解不等式的恒成立問(wèn)題，可得出各段不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，注意在后一段時(shí)可考慮結(jié)合前一段的參數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解，避免不必要的分類(lèi)，最后對(duì)三段求出的的取值范圍取交集可得參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）解法一：任取，則恒成立

即恒成立 3分

∴恒成立，兩邊平方得：

∴ 5分

（1）解法二（特殊值法）：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，得，得： （酌情給分）

（2）若，則 8分

作出函數(shù)的圖像

由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及 10分

（3）不等式化為

即： （*）對(duì)任意的恒成立

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032406163469288967/SYS201503240617099286587183_DA/SYS201503240617099286587183_DA.029.png">，所以分如下情況討論：

①時(shí)，不等式（*）化為

即對(duì)任意的恒成立，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則只需即可，得，又

∴ 12分

②時(shí)，不等式（*）化為，

即對(duì)任意的恒成立，

由①，，知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需即可，即，得或

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032406163469288967/SYS201503240617099286587183_DA/SYS201503240617099286587183_DA.049.png">所以，由①得 14分

③時(shí)，不等式（*）化為

即對(duì)任意的恒成立，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則只需即可，

即，得或，由②得

綜上所述得，的取值范圍是 15分.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用；4.分類(lèi)討論思想.