Question

已知f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d．(a，c，d∈R)，滿足f（0）=0，f'（1）=0．
且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d；
（2）若h(x)=

3

4

x2-(b+b2-

1

2

)x+b3-

1

4

，（b∈R）解關(guān)于x的不等式：f'（x）+h（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（0）=0得到d=0，求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)f'（1）=0得到a+c=

1

2

，根據(jù)f'（x）≥0在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到

a＞0 △=(- 1 2 )2-4a( 1 2 -a)≤0

，進(jìn)一步求出a，c，d的值．
（2）將f'（x），h（x）代入不等式f'（x）+h（x）＜0中，通過對(duì)b的分類討論，求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（0）=0
∴d=0
∴f′(x)=ax2-

1

2

x+c
由f'（1）=0有a+c=

1

2

，
∵f'（x）≥0在R上恒成立，
即：ax2-

1

2

x+c≥0恒成立
顯然a=0時(shí)不滿足條件，
∴

a＞0 △=(- 1 2 )2-4a( 1 2 -a)≤0

即

a＞0 △=(a- 1 4 )2≤0

∴a=

1

4

∴a=c=

1

4

（2）f′(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

∴f'（x）+h（x）＜0即x²-（b+b²）x+b³＜0，
即（x-b）（x-b²）＜0，
∴當(dāng)b＞b²時(shí)，即0＜b＜1時(shí)，解集為（b²，b）；
當(dāng)b=b²時(shí)，即b=0或b=1時(shí)，解集為?；
當(dāng)b＜b²時(shí)，即b＜0或b＞1時(shí)，解集為（b，b²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決二次不等式恒成立，一般結(jié)合二次函數(shù)的圖象，從開口方向，判別式，對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)加以限制，屬于中檔題．