Question

已知常數(shù)c、d都是實(shí)數(shù),在數(shù)列{a_n}與{b_n}中,a₁=0,b₁=1.對任何正整數(shù)n,等式a_n+1=ca_n+d,b_n+1=cb_n+d都成立.

(1)當(dāng)c=1時,求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)c＞0且c≠1時,要使數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列,求d的值;

(3)當(dāng)c＞0時,設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和、{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n與T_n,求(T₁+T₂+…+T₁₀₀)-(S₁+S₂+…+S₁₀₀)的值.

Answer 1

解:(1)∵c=1＞0,∴a_n=c·a_n-1+d=a_n-1+d,b_n=b_n-1+d(n≥2).

∴{a_n}、{b_n}都是公差為d的等差數(shù)列.∵a₁=0,b₁=1,∴a_n=(n-1)d,b_n=1+(n-1)d(n∈N^*).

(2)∵c＞0,∴b_n=cb_n-1+d.∴=c+.∵{b_n}是等比數(shù)列,∴為常數(shù).

∵{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列,∴b_n-1不是常數(shù).∴必有d=0.

(3)∵c＞0,∴a_n=c·a_n-1+d,b_n=c·b_n-1+d.兩式相減得:b_n-a_n=c(b_n-1-a_n-1)(n≥2),

∴{b_n-a_n}為等比數(shù)列.∴b_n-a_n=(b₁-a₁)c^n-1=c^n-1.

∴T_n-S_n=(b₁-a₁)+(b₂-a₂)+…+(b_n-a_n)=1+c+c²+…+c^n-1=n,c=1,

,c＞0且c≠1.

∴當(dāng)c=1時,(T₁+T₂+…+T₁₀₀)-(S₁+S₂+…+S₁₀₀)

=(T₁-S₁)+(T₂-S₂)+…+(T₁₀₀-S₁₀₀)

=1+2+3+…+100==5 050.

∴當(dāng)c＞0且c≠1時,(T₁+T₂+…+T₁₀₀)-(S₁+S₂+…+S₁₀₀)

=(T₁-S₁)+(T₂-S₂)+…+(T₁₀₀-S₁₀₀)

=++…+=［100］=.