Question

l₁，l₂過(guò)p（-

2

，0）且互相垂直，l₁，l₂與雙曲線y²-x²=1交于A₁，B₁及A₂，B₂
①求l₁斜率的取值范圍；
②若A₁為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，求|A₂B₂|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①顯然l₁、l₂斜率都存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，得到l₁、l₂的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，再結(jié)合根的判別即可求得斜率k₁的取值范圍；
②利用①中得到的關(guān)于x的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求|A₂B₂|的值．

解答： 解：①顯然l₁、l₂斜率都存在，否則l₁、l₂與曲線不相交．設(shè)l₁的斜率為k₁，則l₁的方程為y=k₁（x+

2

）．
聯(lián)立得y=k₁（x+

2

），y²-x²=1，
消去y得（k₁²-1）x²+2

2

k₁²x+2k₁²-1=0．①
根據(jù)題意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全類似地有

1

k12

-1≠0，④
△₂＞0，即有12•

1

k12

-4＞0，⑤
從而k₁∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k₁≠±1；
②A₁為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，則k₁=

2

2

，
由弦長(zhǎng)公式得|A₂B₂|=

1+ 1 k12

•

12-4k12 (k12-1)2

=

1+2

•

12-2 1 4

=2

30

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，考查弦長(zhǎng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．