已知函數(shù)y=|x|+1,y=
x2-2x+2+t
y=
1
2
(x+
1-t
x
)
(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三個根,其中0<t<1.
(Ⅰ)求證:a2=2b+3;
(Ⅱ)設(shè)(x1,M),(x2,N)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的兩個極值點(diǎn).
①若|x1-x2|=
2
3
,求函數(shù)f(x)的解析式;
②求|M-N|的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先利用函數(shù)的單調(diào)性求出前三個函數(shù)的最小值,代入x3+ax2+bx+c=0可得a2=2b+3.
(Ⅱ)x1,x2是方程f'(x)=3x2+2ax+b=0的根?有x1+x2=-
2a
3
,x1x2=
b
3
△=(2a)2-12b>0,得b<3 
  ①利用兩根之差的絕對值和兩根之和,兩根之積的關(guān)系,可以求得a,b,c,即得.
  ②|M-N|的取值即為兩函數(shù)值之間的關(guān)系,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,在利用所求b<3或a<-1代入即可.
解答:解:(Ⅰ)三個函數(shù)的最小值依次為1,
1+t
1-t
,(3分)
由f(1)=0,得c=-a-b-1
∴f(x)=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-(a+b+1)=(x-1)[x2+(a+1)x+(a+b+1)],
故方程x2+(a+1)x+(a+b+1)=0的兩根是
1-t
,
1+t

1-t
+
1+t
=-(a+1)
,
1-t
1+t
=a+b+1
.(4分)
(
1-t
+
1+t
)2=(a+1)2
,即2+2(a+b+1)=(a+1)2
∴a2=2b+3.(5分)
(Ⅱ)①依題意x1,x2是方程f'(x)=3x2+2ax+b=0的根,
故有x1+x2=-
2a
3
,x1x2=
b
3
,
且△=(2a)2-12b>0,得b<3.
|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
a2-3b
3
=
2
3-b
3
(7分)
2
3-b
3
=
2
3
;得,b=2,a2=2b+3=7.
由(Ⅰ)知
1-t
+
1+t
=-(a+1)>0
,故a<-1,
a=-
7
,c=-(a+b+1)=
7
-3

f(x)=x3-
7
x2+2x+
7
-3
.(9分)
②|M-N|=|f(x1)-f(x2)|
=|(x13-x23)+a(x12-x22)+b(x1-x2)|
=|x1-x2|•|(x1+x22-x1x2+a(x1+x2)+b|
=
2
3-b
3
|(-
2a
3
)2-
b
3
+a•(-
2a
3
)+b|

=
4
27
(3-b)
3
2
(或
4
27
(
9-a2
2
)
3
2
).(11分)
由(Ⅰ)(a+1)2=(
1-t
+
1+t
)2=2+2
1-t2

∵0<t<1,∴2<(a+1)2<4,
又a<-1,
-2<a+1<-
2
,
-3<a<-
2
-1
,3+2
2
a2<9
(或
2
<b<3
)(13分)
0<|M-N|<
4
27
(3-
2
)
3
2
.(15分)
點(diǎn)評:函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的情況,是在局部上對函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況,是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較.函數(shù)的極值不一定是最值,函數(shù)的最值也不一定是極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
x,(x<1)
2x-1,(1≤x≤10)
3x-11,(x>10)
,編寫一個程序求函數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x•2x,當(dāng)f'(x)=0時,x=
-
1
ln2
-
1
ln2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
(x>0)有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
b2
x
(x>0)的值域為[6,+∞),求b的值;
(2)研究函數(shù)y=x2+
c
x2
(x>0,常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明(若有多個單調(diào)區(qū)間,請選擇一個證明);
(3)對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
(x>0,常數(shù)a>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)F(x)=(x2+
1
x
)2
+(
1
x2
+x)2
在區(qū)間[
1
2
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
t
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)(0,
t
]上是減函數(shù),在[
t
,+∞)上是增函數(shù).
(1)已知f(x)=
4x2-12x-3
2x+1
,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域.
(2)對于(1)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x),若對于任意的x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求實數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì):若常數(shù)a>0,則該函數(shù)在區(qū)間(0,
a
]
上是減函數(shù),在區(qū)間[
a
,+∞)
上是增函數(shù);函數(shù)y=x2+
b
x2
有如下性質(zhì):若常數(shù)c>0,則該函數(shù)在區(qū)間(0,
4b
]
上是減函數(shù),在區(qū)間[[
4b
,+∞)
上是增函數(shù);則函數(shù)y=xn+
c
xn
(常數(shù)c>0,n是正奇數(shù))的單調(diào)增區(qū)間為
[
2nc
,+∞)
[
2nc
,+∞)

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