設(shè)，．證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列滿足以下條件：

（�。�，；

（ⅱ）存在；

（ⅲ），．

[證]  必要性：假設(shè)存在滿足（�。�，（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為

          ，，

其中．

將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得

       ．              

由（ⅱ）可設(shè)，將上式取極限得

        

           

，

因此．                                                          

充分性：假設(shè)．定義多項(xiàng)式函數(shù)如下：

         ，，

則在[0,1]上是遞增函數(shù)，且

，．

因此方程在[0,1]內(nèi)有唯一的根，且，即．   

下取數(shù)列為，，則明顯地滿足題設(shè)條件（�。�  ．

因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）．                                                              

最后驗(yàn)證滿足（ⅲ），因，即，從而

        ．

綜上，已證得存在數(shù)列滿足（�。�，（ⅱ），（ⅲ）．          


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離與其到定直線l：x=4的距離之比是
12
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為M，軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)F的直線交軌跡M于B、C兩點(diǎn)．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）△ABC的面積是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x2+ax+a）e-x，其中x∈R，a是實(shí)常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底．
（1）確定a的值，使f（x）的極小值為0；
（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，f（x）的極大值為3；
（3）討論關(guān)于x的方程f（x）+f'（x）=2xe-x+x-2（x≠0）的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=an2•bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3，且n∈N+時(shí)，cn+1＜cn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=（x2+ax+a）e-x，x∈R．
（Ⅰ）確定a的值，使f（x）的極小值為0；
（ II）證明：當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，f（x）的極大值為3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•閘北區(qū)二模）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|PF1|取得最小值與最大值；
（Ⅱ）若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）若直線l：y=kx+m與（Ⅱ）中所述橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且滿足AA2⊥BA2，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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