Question

如圖,已知正四面體ABCD的棱長為a,E為AD的中點,連結CE.

(1)求證:頂點A在底面BCD內的射影是△BCD的外心;

(2)求AD與底面BCD所成的角;

(3)求CE與底面BCD所成的角.

Answer 1

(1)證明:如圖,過A作AO⊥平面ABC,垂足為O.

連結OB、OC、OD,則OB、OC、OD分別是AB、AC、AD在平面BCD內的射影.

又∵AB=AC=AD,

∴OB=OC=OD.

∴頂點A在底面BCD內的射影O是△BCD的外心.

(2)解:∵AO⊥平面BCD,

連結OD,則OD為AD在平面BCD內的射影.

∴∠ADO為直線AD與平面BCD所成的角.

∵O為△BCD的重心,

∴DO= .

∴cos∠ADO=.

∴∠ADO=arccos.

∴AD與平面BCD所成的角為arccos.

(3)解:取OD的中點F,連結EF、CF.

∵E、F分別為△DAO的邊AD、OD的中點,

∴EF為△DAO的中位線.

∴EF∥AO.又AO⊥平面BCD,∴EF⊥平面BCD.

∴FC為EC在平面BCD內的射影.

∴∠ECF為EC與平面BCD所成的角.

在Rt△EFC中,EF=AO,

而AO=,

∴EF=.

∵E為AD的中點,∴,

∴sin∠ECF=.

∴∠ECF=arcsin.

∴CE與平面BCD所成的角為arcsin.