在平面直角坐標(biāo)系xoy（O為坐標(biāo)原點）中，橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過圓E2上的一點P（x0，y0）的直線l，使l與圓E2相切，與橢圓E1有兩個不同的交點A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)x0的值；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的兩個焦點在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
，建立方程，即可求得橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，由l于為x2+y2=3相切于點P（x0，y0），可得直線l的方程為x0x+y0y=3，分類討論，利用
OA
•
OB
=3，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意，a2-b2=a+b，
a2-b2
a
=
3
2

∴a=2，b=1
∴橢圓E1的方程為
x2
4
+y2=1，圓E2的方程為x2+y2=3；
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，由l于為x2+y2=3相切于點P（x0，y0），可得直線l的方程為x0x+y0y=3
當(dāng)y0=0時，
OA
•
OB
=
11
4
≠3，不合題意；
當(dāng)y0≠0時，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合x02+y02=3，可得3（1+
x
2
0
）x2-24x0x+4
x
2
0
+24=0
∵(-24x0)2-12（1+
x
2
0
）（4
x
2
0
+24）＞0
∴2＜
x
2
0
＜3
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8x0
1
+x
2
0
，x1x2=
24+4x02
3(1
+x
2
0
)

∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
11
1
+x
2
0

∵
OA
•
OB
=3，∴
11
1
+x
2
0
=3
∴
x
2
0
=
8
3

∵2＜
x
2
0
＜3，
∴存在直線l，此時點P的橫坐標(biāo)為x0=±
2
6
3
．
點評：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準(zhǔn)線上一點（異于右準(zhǔn)線與x軸的交點），設(shè)線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為
2
3
，點M的橫坐標(biāo)為
9
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1•k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過點P（1，1），傾斜角α=
π
6
，
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)l與圓圓C相交與兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2+y2=4分別交x軸正半軸及y軸負半軸于M，N兩點，點P為圓C上任意一點，則
PM
•
PN
的最大值為
4+4
2
4+4
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點M（0，3），直線l：x+y-4=0，點N（x，y）是圓C：x2+y2-2x-1=0上的動點，MA⊥l，NB⊥l，垂足分別為A、B，則線段AB的最大值為
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2x的焦點為F．設(shè)M是拋物線上的動點，則
MO
MF
的最大值為
2
3
3
2
3
3
．

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