Question

已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值
（1）求a與b的關(guān)系式；
（2）若y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間的長度不小于2，求a的取值范圍（注：區(qū)間[m，n]的長度為n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2對一切x≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值，則f'（1）=0可求出a和b的關(guān)系；
（2）將b用a代換，然后求出y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)減區(qū)間的長度不小于2建立不等關(guān)系，求出a的范圍即可；
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2對一切x≥3恒成立轉(zhuǎn)化成x³+ax²-（2a+4）x≥0對一切x≥3恒成立，則x²+ax-（2a+4）≥0對一切x≥3恒成立，最后利用參數(shù)分離法求出a的范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值
∴f'（1）=3+2a+b=0
（2）由（1）知b=-2a-3
∴f'（x）=3x²+2ax-2a-3=（3x+2a+3）（x-1）＜0
∵y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間的長度不小于2
∴|1-（-

2a+3

3

）|≥2
解得：a≥0或a≤-6
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2對一切x≥3恒成立
x³+ax²-（2a+4）x≥0對一切x≥3恒成立
∴x²+ax-（2a+4）≥0對一切x≥3恒成立
即a（x-2）≥4-x²，a≥-x-2
∴a≥-5

點評：本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)恒成立問題和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道綜合題，有一定的難度，同時考查了轉(zhuǎn)化思想．