Question

已知點F₁（-2，0），F₂（2，0），動點P滿足條件|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點．過P、Q作y軸的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=

|PQ|

|AB|

，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由此能求出軌跡E的方程．
（2）設直線l方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯立，得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），由此求出1＜λ＜

2 3

3

．直線的斜率不存在時，|PQ|=|AB|，此時λ=1．由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，
點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，
由c=2，2a=2，得b²=3，
故軌跡E的方程為x2-

y2

3

=1，（x≥1）．…（3分）
（2）當直線l的斜率存在時，
設直線l方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯立消y，得
（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

，解得k²＞3，
∴λ=

|PQ|

|AB|

=

1+k2 |x2-x1|

|y2-y1|

=

1+k2 |x2-x1|

|k(x2-x1)|

=

1+k2

|k|

=

1+ 1 k2

，
∵k²＞3，∴0＜

1

k2

＜

1

3

，∴1＜λ＜

2 3

3

．
注意到直線的斜率不存在時，|PQ|=|AB|，此時λ=1．
綜上，λ的取值范圍是[1，

2 3

3

）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查兩線段長比值的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．