Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得q+6+d=12①、q²=6+d②，解可得q與d，由等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案．
（2）由（1）可得c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由b₂+S₂=12可得b₁q+a₁+a₁+d=12，即q+6+d=12，①
由q=

S2

b2

可得q=

a1+a1+d

b1q

，即q²=6+d，②
聯(lián)立①、②可得q=3或q=-4（舍），d=3；
故a_n=3n，bn=3n-1；
（2）由（1）知：c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．
故T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，③
3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，④
③-④可得：-2Tn=3+32+33+…+3n-n•3ⁿ⁺¹=

3

2

（3ⁿ-1）-n•3ⁿ⁺¹，
則T_n=

1

4

（2n-1）•3ⁿ⁺¹+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和中常見的錯(cuò)位相減法，涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法．