Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表達(dá)式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）中的猜想．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，將a₁=1，代入4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9可求得a₂，同理可求得a₃，a₄的值；
（2）由（1）求得a₂=

7

3

，a3=

13

5

，a₄=

19

7

，觀察分母與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，可找到規(guī)律，同樣，每一項(xiàng)的分子7，13，19，…可構(gòu)成等差數(shù)列，于是可猜得a_n的表達(dá)式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，第二步假設(shè)n=k時(shí)成立，證明n=k+1結(jié)論也成立時(shí)需用好歸納假設(shè)．

解答：解：（1）∵a₁=1，4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9，
∴4a₂-a₂+2=9，解得a₂=

7

3

，同理求得a₃=

13

5

，a₄=

19

7

；
（2）由a₁=1，a₂=

7

3

，a₃=

13

5

，a₄=

19

7

，猜想a_n=

6n-5

2n-1

；
（3）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，右端

6×1-5

2×1-1

=1，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即a_k=

6k-5

2k-1

，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵4a_k+1-a_k•a_k+1+2a_k=9，
∴a_k+1=

9-2ak

4-ak

=

9-2• 6k-5 2k-1

4- 6k-5 2k-1

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立；
由①②得對(duì)任意n∈N*，等式均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列遞推式，關(guān)鍵在于根據(jù)a₁、a₂、a₃、a₄的值猜想出a_n=

6n-5

2n-1

，然后再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，證明的難點(diǎn)在于，“n=k+1時(shí)，等式成立”的證明，要把已知條件4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9與歸納假設(shè)完美的結(jié)合，屬于難題．