1.已知函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[2,4]為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)在[0,2]上的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的取值.

分析 (1)求得函數(shù)的對(duì)稱軸,討論[2,4]為遞增區(qū)間或遞減區(qū)間,即有$\frac{a}{2}$≤2,或$\frac{a}{2}$≥4,解不等式即可得到所求范圍;
(2)討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,分當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0時(shí),當(dāng)0<$\frac{a}{2}$<2時(shí),當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2時(shí),結(jié)合單調(diào)性,可得最小值,解方程可得a的值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$,
若函數(shù)在區(qū)間[2,4]為單調(diào)遞增函數(shù),即有$\frac{a}{2}$≤2,解得a≤4;
若函數(shù)在區(qū)間[2,4]為單調(diào)遞減函數(shù),即有$\frac{a}{2}$≥4,解得a≥8.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥8或a≤4;
(2)當(dāng)$\frac{a}{2}$≤0時(shí),即a≤0時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,
函數(shù)的最小值為 f(0)=a2-2a+2=2,解得a=0或2(舍去);
當(dāng)0<$\frac{a}{2}$<2時(shí),即0<a<4時(shí),函數(shù)的最小值為 f($\frac{a}{2}$)=2-a=2,
解得a=0(舍去);
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2,即a≥4時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,
函數(shù)的最小值為 f(2)=a2-10a+18=2,解得a=8或2(舍去).
綜上可得,a=0或a=8.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)考查單調(diào)性的運(yùn)用,屬于中檔題.

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