Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2

2

，∠ACB=90°，M是AA₁的中點(diǎn)，N是BC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-C₁M-C的平面角余弦值的大�。�

Answer 1

分析：（1）取B₁C₁中點(diǎn)D，連接A₁D、ND，利用三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)，可得四邊形A₁MND是平行四邊形，從而MN∥A₁D，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證出MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）由線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合題意可證出BC⊥平面AA₁C₁C．在矩形矩形ACC₁A₁中利用三角形相似，可得CE⊥C₁M，結(jié)合三垂線定理得到BE⊥C₁M，從而得出∠BEC是二面角B-C₁M-C的平面角，最后在Rt△BCE中算出BE、CE的長，利用三角函數(shù)的定義，可得出二面角B-C₁M-C的平面角余弦值的大小．

解答：解：（1）取B₁C₁中點(diǎn)D，連接A₁D、ND
∵△BB₁C₁中，N、D分別是BC₁、B₁C₁中點(diǎn)，∴ND∥BB₁，且ND=

1

2

BB₁．
又∵矩形ABB₁A₁中，M為AA₁的中點(diǎn)，∴AM∥BB₁，且AM=

1

2

BB₁．
∴四邊形A₁MND是平行四邊形，可得MN∥A₁D
∵M(jìn)N?平面A₁B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁．
∴MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）連接A₁C交C₁M于點(diǎn)E，連接BE
∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=

AC2+BC2

=2

2

∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥AA₁
又∵BC⊥AC，AC、AA₁是平面AA₁C₁C內(nèi)的相交直線
∴BC⊥平面AA₁C₁C
∵矩形ACC₁A₁中，A₁M=

2

，A₁C₁=2，C₁C=2

2

∴

CC1

C1A1

=

C1A1

A1M

=

2

，得△CC₁A₁∽△C₁A₁M
∴∠C₁CE+∠CC₁E=∠A₁C₁M+∠CC₁E=90°，得CE⊥C₁M
∵BC⊥平面AA₁C₁C，得CE是BE在平面AA₁C₁C內(nèi)的射影
∴BE⊥C₁M，得∠BEC是二面角B-C₁M-C的平面角
∵Rt△C₁A₁M中，A₁E=

A1C1•A1M

A1C12+A1M2

=

2

3

3

，
∴結(jié)合A₁C=

A1C12+C1C2

=2

3

，得CE=A₁C-A₁E=

4 3

3

由此可得，Rt△BCE中，BE=

BC2+CE2

=

2 21

3

∴cos∠BEC=

CE

BE

=

2 7

7

，即二面角B-C₁M-C的平面角余弦值的大小為

2 7

7

．

點(diǎn)評：本題給出特殊直三棱柱，求證線面平行并求二面角的余弦值，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的求法等知識，屬于中檔題．