Question

設函數(shù)，且其圖象關于直線x=0對稱，則（ ）
A．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)
B．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為減函數(shù)
C．y=f（x）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)
D．y=f（x）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：將函數(shù)解析式提取2，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式，求出函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)圖象關于直線x=0對稱，將x=0代入函數(shù)解析式中的角度中，并令結果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數(shù)，代入確定出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間確定出函數(shù)的得到遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，進而得到正確的選項．
解答：解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ-），
∵ω=2，
∴T==π，
又函數(shù)圖象關于直線x=0對稱，
∴φ-=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），
又|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），
又（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），
∴函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，
則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，）上為減函數(shù)．
故選B
點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，余弦函數(shù)的對稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，其中將函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是本題的突破點．