【題目】已知函數(shù),其中
為參數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;
(3)若對(duì)任意,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)(2)見解析(3)
【解析】試題分析:(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解;(2)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析求解;(3)依據(jù)不等式恒成立的條件,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,結(jié)合分析推證的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析推證:
(1)
(2),定義域?yàn)?/span>
,設(shè)
,
當(dāng)時(shí),
,故
,
所以在
上為增函數(shù),所以無極值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),
,
若時(shí)
,
,故
,故
在
上遞增,所以無極值點(diǎn).
若時(shí)
,設(shè)
的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為
,且
,
且,而
,則
,
所以當(dāng)單調(diào)遞增;
當(dāng)單調(diào)遞減;
當(dāng)單調(diào)遞增.
所以此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);
③當(dāng)時(shí)
,設(shè)
的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為
,且
,
但,所以
,
所以當(dāng)單調(diào)遞増;
當(dāng)單調(diào)遞減.
所以此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)。
綜上得:
當(dāng)時(shí)
有一個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí)
的無極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
的有兩個(gè)極值點(diǎn).
(3)方法一:
當(dāng)時(shí),由(2)知
在
上遞增,
所以,符合題意;
當(dāng)時(shí),
,
在
上遞增,所以
,
符合題意;
當(dāng)時(shí),
,所以函數(shù)
在
上遞減, 所以
,
不符合題意;
當(dāng)時(shí),由(1)知
,于是
當(dāng)時(shí),
,此時(shí)
,不符合題意.
綜上所述, 的取值范圍是
.
方法二: ,注意到對(duì)稱軸為
,
,
當(dāng)時(shí),可得
,故
在
上遞增,所以
,符合題意;
當(dāng)時(shí),
,所以函數(shù)
在
上遞減, 此時(shí)
,
不符合題意;
當(dāng)時(shí),由(1)知
,于是
當(dāng)時(shí),
,此時(shí)
,不符合題意.
綜上所述, 的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
,且
的最小值為
.
(1)求的值;
(2)若不等式對(duì)任意
恒成立,其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求
的取值范圍;
(3)設(shè)曲線與曲線
交于點(diǎn)
,且兩曲線在點(diǎn)
處的切線分別為
,
.試判斷
,
與
軸是否能圍成等腰三角形?若能,確定所圍成的等腰三角形的個(gè)數(shù);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】證明與化簡.
(1)求證:cotα=tanα+2cot2α;
(2)請(qǐng)利用(1)的結(jié)論證明:cotα=tanα+2tan2α+4cot4α;
(3)請(qǐng)你把(2)的結(jié)論推到更一般的情形,使之成為推廣后的特例,并加以證明:
(4)化簡:tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸,可得這個(gè)幾何體的全面積為( )
A.10+4 ?+4
B.10+2 ?+4
??
C.14+2 ?+4
D.14+4 ?+4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若sin(A+B﹣C)=sin(A﹣B+C),則△ABC必是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若0<x1<x2<1,則( )
A. ﹣
>lnx2﹣lnx1
B. ﹣
<lnx2﹣lnx1
C.x2 >x1
D.x2 <x1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n .
(1)當(dāng)m=n=5時(shí),若 ,求a0+a2+a4的值;
(2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9,當(dāng)m,n變化時(shí),求x2系數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函數(shù)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是;若此函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)
處的切線方程為
,
(其中
為常數(shù)).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若對(duì)任意,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:
(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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