Question

8．設F₁，F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，點F₁到雙曲線漸近線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$|OF₁|（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點及漸近線方程，利用點到直線的距離公式求得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，求得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程：y=±$\frac{a}$x，左焦點F₁（-c，0），
則F₁（-c，0）到ay±bx=0的距離d=$\frac{丨a×0+b×（-c）丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
由d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|OF₁|，則b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，a²=c²-b²=c²-$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$c²，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于基礎題．