Question

7．二次函數(shù)f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）+（2a-2）x，求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)其頂點坐標用頂點式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式，然后根據(jù)圖象在x軸上截得線段長是8，求得圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點，代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）先求出函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合函數(shù)的定義域進行分類討論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）的圖象頂點為A（1，16），
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為f（x）=a（x-1）²+16．
又∵圖象在x軸上截得線段長是8，
∴圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點．
∴a（-3-1）²+16=0，
∴a=-1，
∴所求二次函數(shù)解析式為f（x）=-x²+2x+15．
（2）g（x）=f（x）+（2a-2）x=（2a-2）x+f（x）=（2a-2）x+（-x²+2x+15）=-x²+2ax+15=-（x-a）²+a²+15．
對稱軸為x=a，
若a≤0時，g（x）在區(qū)間[0，2]上為單調(diào)減函數(shù)，∴g（x）的最小值g（0）=15．
1＜a＜2時，g（x）在區(qū)間[0，a]上為單調(diào)遞增函數(shù)，在[a，2]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴x=0時，取得最小值，最小值g（a）=a²+15；
0≤a≤1，時，g（x）在區(qū)間[0，a]上為單調(diào)增函數(shù)，在[a，2]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴當x=a時，取得最小值g（2）=a²+15；
a≥2時，g（x）在區(qū)間[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴x=2時，g（x）取得最小值g（2）=11+4a．

點評 本題重點考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法假設(shè)方程，利用函數(shù)對稱軸與定義域的關(guān)系，合理進行分類討論．