Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并求取到最大值時的x的集合．

Answer 1

分析：本題要先利用三角恒等變換公式，化簡整理后，將f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1變?yōu)閒（x）=

2

sin（4x+

π

4

）+2，
（1）由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令相位屬于正弦函數(shù)的增區(qū)間，解出x的取值范圍，即得到函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）由化簡后的形式易得出最值，可令相位等于2kπ+

π

2

，k∈z求出取到最大值時的x，寫成集合形式即得

解答：解：f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1=1+cos4x+sin4x+1=

2

sin（4x+

π

4

）+2，
（1）令2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得

kπ

2

-

3π

16

≤x≤ 

kπ

2

+

π

16

，k∈z，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

kπ

2

-

3π

16

，

kπ

2

+

π

16

]，k∈z，
（2）由解析式知，函數(shù)的最大值為2+

2

，此時有4x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z，解得x=

kπ

2

+

π

16

，k∈z，
即函數(shù)f（x）的最大值為2+

2

，取到最大值時的x的集合為{x|x=

kπ

2

+

π

16

，k∈z}

點評：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換的公式，以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)取到最值時的x的集合．本題是三角函數(shù)中的常規(guī)題型，近幾年高考中這咱類型也比較常見，其步驟是先化簡整理，再由公式進(jìn)行求解，求單調(diào)區(qū)間，求最值等，此類題掌握好解題規(guī)律即可順利解出，中檔題．