已知函數(shù)，在定義域[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為．有以下命題：

①是奇函數(shù)；②若在內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則； ④若對， 恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的序號為————

 

【答案】

①③

【解析】解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c，在定義域x∈[-2，2]上表示的曲線過原點，∴f（0）=0∴c=0∵f′（x）=3x2+2ax+b，且在x=±1處的切線斜率均為-1．∴f′（1）=f′（-1）=-1

3+2a+b=-1和3-2a+b=-1，解可得b=-4，a=0∴f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4

①∵f（-x）=-x3+4x=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)；①正確

②由f′（x）≥0得單調(diào)區(qū)間進而得到結(jié)論。

③由奇函數(shù)的關(guān)于原點對稱可知，最大值與最小值互為相反數(shù)，f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0；③正確

④若對∀x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x2-4∈[-4，8]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤4，則k的最大值為-4．④錯誤

正確命題的序號為①③

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011屆北京市昌平區(qū)高三考模擬考試數(shù)學試卷（文科） 題型：解答題

已知函數(shù)，在定義域內(nèi)有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數(shù)列的前項和.
（I）求數(shù)列的通項公式；
（II）設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)（且），使不等式
恒成立，求正整數(shù)的最大值

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省濰坊三縣高三階段性教學質(zhì)量檢測數(shù)學理卷 題型：選擇題

已知函數(shù)，在定義域[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為．有以下命題：

①是奇函數(shù)；②若在內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則； ④若對，恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的個數(shù)為

A .1個　　　　        B. 2個　　　　        C .3個　　　　     D. 4個

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市昌平區(qū)高三考模擬考試數(shù)學試卷（文科） 題型：解答題

已知函數(shù)，在定義域內(nèi)有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數(shù)列的前項和.

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)；

（Ⅲ）設(shè)（且），使不等式

恒成立，求正整數(shù)的最大值

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)，在定義域內(nèi)有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數(shù)列的前項和.

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)；

（Ⅲ）設(shè)（且），使不等式

 恒成立，求正整數(shù)的最大值．

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