如圖所示，在三棱錐P―ABC中，PA⊥底面ABC．PA=AB=BC=2，∠ABC=90°，M為棱PC的中點．

(1)求證：點P、A、B、C四點在同一球面上；

(2)求二面角A―MB―C的大小；

(3)求過P、A、B、C四點的球面中，A、B兩點的球面距離．

解：(1)證明：由已知條件Rt△PAC中PM=MC，則MP=MC=MA．

    ∵

    ∴，

    則MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，

    即P、A、B、C四點都在以M為球心，半徑為PM的球面上，

(2)以AC為y軸，AP為軸建立空間直角坐標系A(chǔ)―，

則B()，M(0，，1)，C(0，，0)．

    設(shè)平面AMB的法向量為，

    ∵，

    由，得，所以

  同理，設(shè)平面BMC的法向量為，則

    ，解得

    所以．故二面角A一MB―C的大小為l20°．

(3)∵過P、A、B、C四點的球面的球心為M，半徑為MC=，AB=2，

在△MAB中，，

    ∴∠AMB=arccos．

    故A、B兩點的球面距離為arccos．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）證明△PBC為直角三角形；
（2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．該三棱錐中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只寫結(jié)果，不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．
（1）判斷△PBC的形狀；
（2）證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，點O為AC的中點，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）求證：BO⊥平面PAC
（2）證明：△PBC為直角三角形；
（3）求直線AP與平面PBC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E為AC的中點．
（1）求異面直線BE與PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

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