【題目】已知橢圓C a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.

【答案】(1).(2)見解析。

【解析】試題分析:(1)根據(jù), 兩點關(guān)于y軸對稱,由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過, 兩點.另外由知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2C上.因此在橢圓上,代入其標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求出C的方程;(2)先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,再設(shè)直線l的方程,當(dāng)lx軸垂直時,通過計算,不滿足題意,再設(shè)l ),將代入,寫出判別式,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2,x1x2,進而表示出,根據(jù)列出等式表示出的關(guān)系,從而判斷出直線恒過定點.

試題解析:(1)由于, 兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過, 兩點.

又由知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2C上.

因此,解得.

C的方程為.

(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,

如果lx軸垂直,設(shè)lx=t,由題設(shè)知,且,可得AB的坐標(biāo)分別為(t, ),(t, ).

,得,不符合題設(shè).

從而可設(shè)l ).將代入

由題設(shè)可知.

設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),則x1+x2=x1x2=.

.

由題設(shè),故.

.

解得.

當(dāng)且僅當(dāng)時, ,欲使l ,即,

所以l過定點(2,

點睛:橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì),判斷點是否在橢圓上,可以通過這一方法進行判斷;證明直線過定點的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程,通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化,找出兩個參數(shù)之間的關(guān)系式,從而可以判斷過定點情況.另外,在設(shè)直線方程之前,若題設(shè)中未告知,則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況,其通法是聯(lián)立方程,求判別式,利用根與系數(shù)的關(guān)系,再根據(jù)題設(shè)關(guān)系進行化簡.

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,則認定該同學(xué)為“初級水平”,若,則認定該同學(xué)為“中級水平”,若,則認定該同學(xué)為“高級水平”;若,則認定該同學(xué)為“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”,否則為“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”.

(I)從50名女同學(xué)的中隨機選出一名,求該同學(xué)為“初級水平”的概率;

(Ⅱ)從男同學(xué)所有“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)的中級或高級水平”中任選2名,求選出的2名均為“高級水平”的概率;

(Ⅲ)試比較這100名同學(xué)中,男、女生指標(biāo)的方差的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論).

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體驗

時間

頻數(shù)

(1)求這名顧客體驗時間的樣本平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù)

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(2)若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?

P(K2≥k0

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

附:K2=

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