Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A、F，右準(zhǔn)線為m．圓D：x²+y²+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點(diǎn)為K，將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線l，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知圓求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出b，寫出橢圓方程．
（2）設(shè)出直線m與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意FQ≥FA，化簡(jiǎn)即可．
（3）根據(jù)已知圓求出圓心半徑，再根據(jù)PM⊥MD，求出最值．
解答：解：（1）圓x²+y²+x-3y-2=0與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，A（-2，0），F(xiàn)（1，0），
故a=2，c=1，
所以，
橢圓方程是：
（2）設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)是Q，
依題意FQ≥FA，
即，
，
，，
2e²+e-1≤0，．
（3）直線l的方程是x-y-4=0，
圓D的圓心是，半徑是，
設(shè)MN與PD相交于H，則H是MN的中點(diǎn)，
且PM⊥MD，

當(dāng)且僅當(dāng)PD最小時(shí)，MN有最小值，
PD最小值即是點(diǎn)D到直線l的距離是
，
所以MN的最小值是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．