選修4-1：幾何證明選講
如圖，BA是⊙O的直徑，AD是切線，BF、BD是割線，
求證：BE•BF=BC•BD．

【答案】分析：證法一做出輔助線，根據(jù)兩條線平行，同位角相等，得到兩個角相等，在根據(jù)同弧所對的圓周角等于弦切角，得到兩個三角形相似，得到對應(yīng)邊成比例．
證法二，做出輔助線，根據(jù)直徑所對的圓周角是一個直角，根據(jù)射影定理得到AB2=BC•BD，AB2=BE•BF，根據(jù)等量代換得到結(jié)論．
解答：證明：
證法一：連接CE，過B作⊙O的切線BG，則BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF∴，
即BE•BF=BC•BD
證法二：連續(xù)AC、AE，∵AB是直徑，AC是切線
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射線定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD
點評：本題考查平面幾何的有關(guān)證明，是一個基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是看清要證明的四條線段之間的位置關(guān)系，得到結(jié)論．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點H，HB=2．
（1）求DE的長；
（2）延長ED到P，過P作圓O的切線，切點為C，若PC=2
5
，求PD的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結(jié)AD交圓O于點E，連結(jié)BE與AC交于點F，求證：AE2=EF•BE．

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