已知函數(shù)f(x)=sin2x-2
3
cos2x+
3
，x∈[
π
4
，
π
2
]．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并寫出x為何值時取得最值；
（2）若不等式|f（x）-a|＜2，對一切x∈[
π
4
，
π
2
]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）先利用輔助角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡，在結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）先把不等式轉(zhuǎn)化為：
a＞f(x)-2
a＜f(x)+2
；再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f(x)=sin2x-
3
cos2x=2sin(2x-
π
3
)；…（4分）
因x∈[
π
4
，
π
2
]，所以
π
6
≤2x-
π
3
≤
2π
3
；
當(dāng)x=
π
4
時，f(x)min=f(
π
4
)=1…（6分）
當(dāng)x=
5π
12
時，f(x)max=f(
5π
12
)=2；　　　…（8分）
（2）由-2＜f（x）-a＜2得：
a＞f(x)-2
a＜f(x)+2
；　…（13分）
所以，實數(shù)a的取值范圍為：（0，3）．　　…（15分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值以及正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．是對知識的綜合考查，在研究函數(shù)的最值時，一般要先研究函數(shù)的單調(diào)性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時有x2∈S，給出下列四個結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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同步練習(xí)冊答案