Question

設(shè)P：函數(shù)y=（2a+1）x+b在實數(shù)集上是減函數(shù)；Q：不等式|x-1|-|x|＞a恒成立．如果P和Q有且僅有一個正確，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到P為真命題時，a得取值范圍，根據(jù)不等式恒成立的原則易得到Q為真命題時，a得取值范圍，再根據(jù)P和Q有且僅有一個正確，由此構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：P：函數(shù)y=（2a+1）x+b在實數(shù)集上是減函數(shù)?a＜-

1

2

Q：不等式|x-1|-|x|＞a恒成立?f（x）=|x-1|-|x|的最小值＞a
而f(x)=|x-1|-|x|=

-1，x≥1 1-2x，0＜x＜1 1，x≤0

，故f_min（x）=-1，
∴a＜-1
（1）若P正確Q不正確，則

a＜- 1 2 a≥-1

⇒-1≤a＜-

1

2

； 
（2）若P不正確Q正確，則

a≥- 1 2 a＜-1

⇒a∈∅所以a的取值范圍為[-1，-

1

2

)

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中求了命題P、Q為真（假）時，c的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．