Question

已知數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，點（n，S_n）在函數(shù)y=

3

2

x2+

5

2

x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)點（n，S_n）在函數(shù)y=

3

2

x2+

5

2

x的圖象上，把點（n，S_n）代入得到Sn=

3

2

n2+

5

2

n，然后根據(jù)a_n=S_n-S_n-1解出數(shù)列{a_n}的通項a_n，
（Ⅱ）把a_n=3n+1代入b_n=2ⁿa_n中，對數(shù)列{b_n}進行求和得T_n=4•2¹+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，然后再求出2T_n=4•2²+7•2³++（3n-2）•2ⁿ+（3n+1）•2ⁿ⁺¹，兩式相減即可求得數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）依題意有Sn=

3

2

n2+

5

2

n，當(dāng)n=1時，a1=S1=

3

2

+

5

2

=4．（2分）
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

3

2

n2+

5

2

n-[

3

2

(n-1)2+

5

2

(n-1)]=3n+1，（5分）
綜上，a_n=3n+1，（6分）
（Ⅱ）b_n=（3n+1）•2ⁿ．T_n=4•2¹+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ①，（8分）
2T_n=4•2²+7•2³++（3n-2）•2ⁿ+（3n+1）•2ⁿ⁺¹②，（10分）
①-②整理得T_n=3n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²+4．（12分）

點評：本題主要考查數(shù)列求和和求等差數(shù)列的通項的知識點，會運用錯位相減法求數(shù)列的和，本題難度較�。�