Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f （x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3 ），當(dāng)x=-

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時，f （x）取得極大值

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3

，并且函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（1）求f （x）的表達(dá)式；
（2）試在函數(shù)f （x）的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1，1]上；
（3）求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤

2 2

3

（x∈R）．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圖象關(guān)于y軸對稱，得其偶函數(shù)f（-x）=f（x），求得a₀=a₂=0，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，列方程求得a₁和a₃，從而求f （x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁、x₂再利用切線的斜率之積為1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得結(jié)果；
（3）因?yàn)閨f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤

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（x∈R），只須探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范圍即可，故只要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可．

解答：解：∵f（x）=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴-4a₀x³+3a₁x²-2a₂x+a₃=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃，
∴4a₀x³+2a₂x=0對一切x∈R恒成立，
∴a₀=a₂=0，∴f（x）=a₁x³+a₃x
又當(dāng)x=-

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時，f（x）取得極大值

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∴

f(- 2 2 )= 2 3   f′(- 2 2 )=0

解得

a1= 2 3 a3=-1

∴f（x）=

2

3

x³-x．
（2）解：設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁、x₂（x₁＜x₂），則（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1
又∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴2x₁²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]
∴2x₁²-1，2x₂²-1中有一個為1，一個為-1，
∴

x1=0 x2=1

或

x1=-1 x2=0

，
∴所求的兩點(diǎn)為（0，0）與（1，-

1

3

）或（0，0）與（-1，

1

3

）．
（3）證明：易知sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]．
當(dāng)0＜x＜

2

2

時，f（x）＜0；當(dāng)

2

2

＜x＜1時，f（x）＞0．
∴f（x）在[0，

2

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]為減函數(shù)，在[

2

2

，1]上為增函數(shù)，
又f（0）=0，f（

2

2

）=-

2

3

，f（1）=-

1

3

，而f（x）在[-1，1]上為奇函數(shù)，
∴f（x）在[-1，1]上最大值為

2

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，最小值為-

2

3

，即|f（x）|≤

2

3

，
∴|f（sinx）|≤

2

3

，|f（cosx）|≤

2

3

，∴|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|≤

2 2

3

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、不等式的證明、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．