如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥ 平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．
證明：（1）取DE中點(diǎn)G，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC、OA分別為x、y軸，建系如圖空間坐標(biāo)系，則可得
A（0，，0）、B（﹣1，0，0）、C（1，0，0）、D（﹣1，0，1）、
E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），
∴=（2，0，2），=（1，，1）．
設(shè)平面DEF的一法向量=（x，y，z），則
即，
取x=1，則y=0，z=﹣1，
可得=（1，0，﹣1），
∵=（0，，0），=0，
∴⊥．又OA平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）因?yàn)橹本�AO是平面BCDE的一條垂線，
∴平面BCED的一法向量為=（0，，0），
∵=0，平面BCED的法向量與平面DEF的法向量互相垂直
∴平面DEF⊥平面BCED
（3）由（1）知平面DEF的一個(gè)法向量=（1，0，﹣1），
平面ABC即xOy坐標(biāo)平面，可得它的一個(gè)法向量=（0，0，1），
∵=﹣1，=，=1
∴cos＜，＞==﹣
∴求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為|cos＜，＞|=．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

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5、如圖所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有（　�。�

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如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，在棱DE上存在點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）試問線段CE上是否存在一點(diǎn)P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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