Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₅=17，記數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項和為S_n，若S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}，（{m∈Z}）$，對任意的n∈N^*成立，則整數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用通項公式可得a_n=4n-3．可得數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項和為S_n=1+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{4n-3}$．則S_2n+1-S_n=$\frac{1}{4n+1}$+$\frac{1}{4n+5}$+…+$\frac{1}{8n+1}$=f（n），利用其單調(diào)性可得：f（n）≤f（1）．而S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}，（{m∈Z}）$，對任意的n∈N^*成立，等價于（S_2n+1-S_n）_max≤$\frac{m}{15}$，解出即可．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=9，a₅=17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=9}\\{{a}_{1}+4d=17}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項和為S_n=1+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{4n-3}$．
則S_2n+1-S_n=$\frac{1}{4n+1}$+$\frac{1}{4n+5}$+…+$\frac{1}{8n+1}$=f（n），
f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{8n+9}-\frac{1}{4n+1}$＜0，
∴數(shù)列{f（n）}單調(diào)遞減，
∴f（n）≤f（1）=$\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$．
∵S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}，（{m∈Z}）$，對任意的n∈N^*成立，
∴（S_2n+1-S_n）_max≤$\frac{m}{15}$，
∴$\frac{14}{45}$＜$\frac{m}{15}$，
解得m＞$\frac{14}{3}$，
∴整數(shù)m的最小值為5．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和、數(shù)列的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．