Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2010年世博會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3-x與t+1成反比例，如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬(wàn)件，已知2010年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完．
（1）將2010年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？
（注：利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，3-x與t+1成反比例，列出關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)t=0時(shí)，x=1，求出k的值，通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)．
（2）根據(jù)已知代入（1）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用關(guān)于t的方程必須有兩正根建立關(guān)系式，可求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當(dāng)t=0時(shí)，x=1．
所以k=2，即 x=

3t+1

t+1

．
當(dāng)年銷量為x萬(wàn)件時(shí)，成本為3+32x（萬(wàn)元）．
化妝品的售價(jià)為

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

（萬(wàn)元/萬(wàn)件）
所以年利潤(rùn)y=(

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

)x-(3+32x+t)（萬(wàn)元）
把 x=

3t+1

t+1

代入整理得到 y=

-t2+98t+35

2(t+1)

，其中t≥0．
（2）去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．
該關(guān)于t的方程在[0，+∞）上有解．
當(dāng)2y-35≤0，即y≤17.5時(shí)，必有一解．
當(dāng)2y-35＞0時(shí)，該關(guān)于t的方程必須有兩正根
所以

4(y-49)2-4(2y-35)≥0 -2(y-49)＞0 2y-35＞0

．解得：17.5＜y≤42．
綜上，年利潤(rùn)最大為42萬(wàn)元，此時(shí)促銷費(fèi)t=7（萬(wàn)元）．
所以當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、方程根的分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，屬于中檔題．