Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）若建立函數(shù)模型制定獎勵方案，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵函數(shù)模型的基本要求；
（Ⅱ）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：（1）y=；（2）y=4lgx-3．試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)獎勵函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數(shù)，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即．
（Ⅱ）根據(jù)（I）去判斷，（1）對于函數(shù)模型，由一次函數(shù)的性質(zhì)研究，是否滿足第一，二兩個條件，構(gòu)造函數(shù)，由反比例函數(shù)性質(zhì)研究是否滿足第三個條件．
（2）對于函數(shù)模型f（x）=4lgx-3，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究
是否滿足第一，二兩個條件，再用作差法研究是否滿足第三個條件即：4lgx-3-＜0，即4lgx-3＜，所以恒成立．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)獎勵函數(shù)模型為y=f（x），則公司對函數(shù)模型的基本要求是：
當(dāng)x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≤9恒成立；③恒成立．（3分）
（Ⅱ）（1）對于函數(shù)模型：
當(dāng)x∈[10，1000]時，f（x）是增函數(shù)，則．
所以f（x）≤9恒成立．（5分）
因為函數(shù)在[10，1000]上是減函數(shù)，所以．
從而，即不恒成立．
故該函數(shù)模型不符合公司要求．（8分）

（2）對于函數(shù)模型f（x）=4lgx-3：
當(dāng)x∈[10，1000]時，f（x）是增函數(shù)，則f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．（10分）
設(shè)g（x）=4lgx-3-，則．
當(dāng)x≥10時，，
所以g（x）在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-＜0，即4lgx-3＜，所以恒成立．
故該函數(shù)模型符合公司要求．（13分）
點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇，其實質(zhì)是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，同時，確定函數(shù)關(guān)系實質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．