Question

某廠家2008年擬舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量m萬(wàn)件（即該廠的年產(chǎn)量）與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元（x≥0）滿(mǎn)足m=3-

2

x+1

．已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品m萬(wàn)件的成本C=16m+8萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)定為每件產(chǎn)品成本的1.5倍．
（Ⅰ）試將2008年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（Ⅱ）該廠家2008年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？
（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本-促銷(xiāo)費(fèi)用）

Answer 1

（Ⅰ）依題意，得：利潤(rùn)函數(shù)y=（1.5-1）C-x=0.5（16m+8）-x
=8m+4-x=8(3-

2

x+1

)+4-x=28-

16

x+1

-x（其中x≥0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y=29-(

16

x+1

+x+1)≤29-2

16 x+1 •(x+1)

=21
當(dāng)且僅當(dāng)

16

x+1

=x+1，即x=3時(shí)取等號(hào)，
所以，廠家2008年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的最大利潤(rùn)為21萬(wàn)元．